一道数学题,知道的帮忙回答下,追20

题目

一道数学题,知道的帮忙回答下,追20
已知整数a,b之差为120,他们的最小公倍数是其最大公倍数的105倍,那么a,b中较大的数是什么?(请写出解题过程,

答案

方法1
不妨假设a大于b,考虑一下用短除法求最小公倍数与最大公约数的过程,这两个过程是一样的,只是最后求积的时候不同,求最小公倍数要把最后两个互质的数乘起来,而求最大公约数不要.这就说明105恰好是那两个互质的数的乘积,与a对应的可能是35、21、15,而与b对应的则可能分别是3、5、7,这样,若设a,b的最大公约数是m,则可设：
a=35m,b=3m 或
a=21m,b=5m或
a=15m,b=7m
考虑到a、b的差为120,只有当a=15m,b=7m时,m才有整数解15,从而a=225,b=105
方法2
两个数的最小公倍数=两个数的最大公约数×两个数独有的质因数的积
根据第二个条件可知,a和b独有的质因数的积是105（3×5×7）
设a和b的最大公约数为x（且a > b）,再根据a和b的差是120,
经分析只有一种情况符合条件,即a是15x,b是7x,
列方程15x - 7x = 120 ,解得x= 15（即a和b的最大公约数）
所以a,b中较大的数是（ 225 ）