已知f (x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10. (1)求f (x)展开式中x3的系数; (2)求f (x)展开式中各项系数之和.
题目
已知f (x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10.
(1)求f (x)展开式中x3的系数;
(2)求f (x)展开式中各项系数之和.
答案
(1)(1+x)n展开式的通项为Tr+1=Cnrxr
令r=3得到展开式中x3的系数是Cn3
∴f (x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10展开式中x3的系数是C33+C43+C53+…+C103=C114
(2)令x=1得f(1)=2+22+23+…+210=2046
∴f (x)展开式中各项系数之和为2046
(1)利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为3,求出展开式中x3的系数.
(2)欲求f (x)展开式中各项系数之和,只需令x=1即可求出所求.
二项式定理的应用;二项式系数的性质.
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题,以及所以系数和等有关问题,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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