f(x)=x^2+|x-a|+1,x属于R,常数a为R,求f(x)最小值

题目

f(x)=x^2+|x-a|+1,x属于R,常数a为R,求f(x)最小值
问过一次,还有疑问,上次答案是：
第一步应该是先去掉绝对值
所以先分x=a讨论
x1/2
则x=1/2时,f(x)最小值=a+3/4
若af(a)
因为f(a)不能取到
所以没有最小值
x>=a
f(x)=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2-a+3/4
若a-1/2
则x=a时,f(x)最小值=a^2+1
我的问题是：
我们要求的不是x在完整的定义域上的f(x)最小么,而现在却分别求了x>=a和x1/2时,若x=a,则最小为a^2+1（a>1/2>-1/2),要求f(x)最小,不用把a+3/4和a^2+1进行比较么?否则不是有两个最小了么?
请原谅我的驽钝.

答案

当x-a≥0时,f(x)=x＾2+x-a+1 =(x+1/2)^2+3/4-a ①
当x-a< 0时,f(x)=x＾2-x+a+1 =(x-1/2)^2+3/4+a ②
在a 1/2时,满足②式,f(x) 才有最小值,最小值为3/4+a
在-1/2≤a≤ 1/2时,f(x) 有最小值1+a^2