什么是对勾函数?怎么用对勾函数解答均值不等式不能解决的问题?

题目

什么是对勾函数?怎么用对勾函数解答均值不等式不能解决的问题?

答案

1.概念：对勾函数的一般形式为f(x)=x + a²/x  (a>0).
2.奇偶性与单调性：容易得出,对勾函数是奇函数.
对勾函数的单调性可由求导的方法或直接利用定义判断得到,它有四个单调区间.
在(-∞,-a]和[a,+∞)上是增函数；在[-a,0)和(0,a]上是减函数.
3.图像：①由于是奇函数,所以图像关于原点对称,再根据单调性,可以得到函数的图像.
　　　　②对勾函数的图像有两个顶点,它们关于原点对称,分别是A(a,2a)和B(-a,-2a).
　　　　③对勾函数的图像有两条渐近线,分别是y轴和直线y=x,对勾函数的图像夹在渐近线之间,形状两个对称的“勾”.
4.解决均值不等式不能直接解决的问题举例：
例：求函数f(x)=(x²+5)/√(x²+4)的最小值.            注： √(x²+4)表示根号下 (x²+4)                
(x²+5)/√(x²+4)=(x²+4+1)/√(x²+4)
=√(x²+4)+1/√(x²+4)
≥2√(x²+4)•1/√(x²+4)]=2
所以　f(x)的最小值为2.
②错因分析：由于√(x²+4)的最小值是2,所以它不可能等于1/√(x²+4),上面的不等式不能取“=”.直接用公式肯定是不行的.
③对勾函数的应用
令t=√(x²+4),t≥2,则　t²=x²+4,
g(t)=f(x)=(x²+5)/√(x²+4)=(t²+1)/t= t+1/t ,t≥2
由于　f(x)=g(t)=t+1/t 在[2,+∞)上是增函数　　　注：实际上一个增区间是[1,+∞）
从而,当t=2时,有最小值,为5/2.