E,F是三角形ABC的边BC上的两点,且BE=CF,连结AE,AF.求证:AB+AC大于AE+AF.

题目

E,F是三角形ABC的边BC上的两点,且BE=CF,连结AE,AF.求证:AB+AC大于AE+AF.

答案

取BC的中点O,连结并延长AO到D,使OD=OA,连结BD、ED、FD、CD,再延长AE交BD于G,则四边形ABDC是平行四边形．
∴BD=AC,∴AB+AC=AB+BD．
∵OB=OC,BE=CF,∴OE=OF,
∴四边形AEDF也是平行四边形．
∴DE=AF,AE+AF=AE+DE．
在△ABG中,AB+BG＞AG,即AB+BG＞AE+EG,
在△DEG中,EG+DG＞DE,
∴AB+BG+EG+DG
＞AE+EG+DE,
∴AB+BD＞AE+DE．
即AB+AC＞AE+AF．