已知函数f(x)=sin(x+α)+√3cos(x-α),其中0≤α＜π,且对任意实数x,f(x)=f(-x)恒成立

题目

已知函数f(x)=sin(x+α)+√3cos(x-α),其中0≤α＜π,且对任意实数x,f(x)=f(-x)恒成立
（1）求α的值
（2）求函数f(x)的最大值和单调递增区间

答案

(1)f(x)=sin(x+α)+√3cos(x-α)
=sinxcosa+cosxsina+√3（cosxcosa+sinxsina)
=sinx(cosa+√3sina)+cosx(sina+√3cosa),
由f(x)=f(-x)得cosa+√3sina=0,tana=-1/√3,
0≤α＜π,
∴a=5π/6.
(2)f(x)=-cosx,
它的最大值是1,单调递增区间是[2kπ,(2k+1)π],k∈Z.