如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC边上，且EF垂直平分对角线AC，垂足为O．求证：四边形AECF为菱形．

题目

如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC边上，且EF垂直平分对角线AC，垂足为O．求证：四边形AECF为菱形．

答案

∵EF垂直平分AC，
∴AO=OC，AE=CE，AF=CF，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠4=∠3，
∴AF=AE，
∴AE=EC=CF=FA，
∴四边形AECF是菱形．

先根据垂直平分线的性质得∴AE=EC，AF=FC，所以∠1=∠2，∠3=∠4；再结合平行线的性质得出∠1=∠4=∠3，即AF=AE，利用四条边相等的四边形是菱形即可证明

本题考点：菱形的判定；平行四边形的性质．

考点点评：本题主要考查了菱形的判定和垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．