如图,在▱ABCD中,点E,F分别在AD,BC边上,且EF垂直平分对角线AC,垂足为O.求证:四边形AECF为菱形.

如图,在▱ABCD中,点E,F分别在AD,BC边上,且EF垂直平分对角线AC,垂足为O.求证:四边形AECF为菱形.

题目
如图,在▱ABCD中,点E,F分别在AD,BC边上,且EF垂直平分对角线AC,垂足为O.求证:四边形AECF为菱形.
答案
∵EF垂直平分AC,
∴AO=OC,AE=CE,AF=CF,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠1=∠4=∠3,
∴AF=AE,
∴AE=EC=CF=FA,
∴四边形AECF是菱形.
先根据垂直平分线的性质得∴AE=EC,AF=FC,所以∠1=∠2,∠3=∠4;再结合平行线的性质得出∠1=∠4=∠3,即AF=AE,利用四条边相等的四边形是菱形即可证明

菱形的判定;平行四边形的性质.

本题主要考查了菱形的判定和垂直平分线的性质,等腰三角形的性质和判定的应用,菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法:①定义;②四边相等;③对角线互相垂直平分.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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