数学圆锥曲线 已知点A(-1,0),B(1,0),动点M的轨迹曲线C满足
题目
数学圆锥曲线 已知点A(-1,0),B(1,0),动点M的轨迹曲线C满足
已知点A(-1,0),B(1,0),动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ|AM|•|BM|cos2θ=3,过点B的直线交曲线C于P、Q两点.
(1)求|AM|+|BM|的值,并写出曲线C的方程;
(2)求△APQ面积的最大值.
答案
设M(x,y)
在△MAB中,|AB|=2,∠AMB=2a
由余弦定理得:
|AB|²=|AM|²+|BM|²-2|AM|•|BM|•cos2a=4
|AM|²+|BM|²-2|AM|•|BM|•(2cos²a-1)=4
|AM|²+|BM|²+2|AM|•|BM|-2|AM|•|BM|•(2cos²a-1)-2|AM|•|BM|=4
(|AM|+|BM|)²-( 2|AM|•|BM|•(2cos²a-1)+2|AM|•|BM| )=4
(|AM|+|BM|)²-2|AM|•|BM|•(2cos²a)=4
(|AM|+|BM|)²-4|AM|•|BM|•cos²a=4
(|AM|+|BM|)²=16
∴|AM|+|BM|=4
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,a=2,c=1
∴曲线C的方程为(x²/4)+(y²/3)=1
2.
过A点的一条直线,交椭圆于P.Q两点,求三角形BPQ内切圆的最大值
回答
设直线PQ的方程为x=my+1(m∈R)
由:
{x=my+1
{(x²/4)+(y²/3)=1
得:
(3m²+4)y²+6my-9=0 ①
显然,方程①的Δ>0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有S=1/2×2×|y1-y2|=|y1-y2|
y1+y2=-6m/(3m²+4),y1y2=-9/(3m²+4)
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=48×[(3m²+3)/(3m²+4)²]
令t=3m²+3,则t ≥ 3
(y1-y2)²=48/[t+(1/t)+2]
由于函数y=t+(1/t)在[3,+∞)上是增函数
∴t+(1/t) ≥ 10/3
故(y1-y2)² ≤ 9
即S ≤ 3
∴△BPQ的最大值是3.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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