如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC上的点，且AD=BE，AE、CD相交于点F，AG⊥CD，垂足为G．求证：AF=2FG．

题目

如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC上的点，且AD=BE，AE、CD相交于点F，AG⊥CD，垂足为G．求证：AF=2FG．

答案

证明：∵等边三角形ABC，
∴AB=CA，∠ABE=∠CAD=60°，
在△ABE和△CAD中，

AB＝AC ∠ABE＝∠CAD＝60° AD＝BE

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
∴∠AEB=∠CDA，又∠EAD为公共角，
∴△ADF∽△ABE．
∴∠AFD=∠B=60°．
∵AG垂直CD，即∠AGF=90°，
∴∠GAF=30°，
∴AF=2FG（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）．

欲证AF=2FG，因为AG⊥CD，△AGF为直角三角形，根据三角函数证明∠GAF=30°或∠AFD=60即可，需要证明△ADF∽△ABE，通过证明△ABE≌△CAD可以得出．

本题考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．

考点点评：此题主要考查等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质及有30°角的直角三角形的性质等知识；难度较大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神，证明线段是2倍关系的问题往往要用到有30°角的直角三角形的性质求解，要熟练掌握．