矩阵a 1 1 1,1 a 1 1,1 1 a 1,1 1 1 a的秩为多少?要有过程

题目

矩阵a 1 1 1,1 a 1 1,1 1 a 1,1 1 1 a的秩为多少?要有过程

答案

若a=1,则各行元素相同,
显然矩阵的秩为1,
若a不等于1,将各行都加到第1行,得到
a+3 a+3 a+3 a+3
1 a 1 1
1 1 a 1
1 1 1 a 第4行减去第3行,第3行减去第2行
～
a+3 a+3 a+3 a+3
1 a 1 1
0 1-a a-1 0
0 0 1-a a-1 第3行除以1-a,第4行除以1-a
～
a+3 a+3 a+3 a+3
1 a 1 1
0 1 -1 0
0 0 1 -1
若a= -3,则第1行元素都为0,秩显然为3,
若a不等于-3,则第1行除以a+3,得到
1 1 1 1
1 a 1 1
0 1 -1 0
0 0 1 -1 第2行减去第1行
～
1 1 1 1
0 a-1 0 0
0 1 -1 0
0 0 1 -1
显然秩为4
所以综上所得
a=1时,秩为1,
a= -3时,秩为3,
a不等于1或-3时,则秩为4