设f（x）=e−xa+a/e−x是定义在R上的函数 （1）f（x）可能是奇函数吗？ （2）当a=1时，试研究f（x）的单调性．

（1）假设f（x）是奇函数，由于定义域是R，所以f（-x）=-f（x）对任意x都成立，
即

e−x

a

+

a

e−x

=−(

e−x

a

+

a

e−x

)，整理得(a+

1

a

)(ex+e−x)＝0，
即a+

1

a

＝0，即a²+1=0，显然该方程无解，
所以f（x）不可能是奇函数．
（2）当a=1时，f（x）=e^x+e^-x，以下讨论其单调性；
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=ex1+e−x1−ex2−e−x2=

(ex1−ex2)(ex1+x2−1)

ex1•ex2

，
其中ex1•ex2＞0，ex1−ex2＜0，当ex1+x2−1＞0时，f（x₁）＜f（x₂），f（x）为减函数，
此时需要x₁+x₂＞0，即增区间为[0，+∞），反之（-∞，0]为减函数，
即函数在区间[0，+∞）上是增函数，在（-∞，0]上为减函数．