已知数列{an}满足：a1=2t,t^2-2a(n-1)t+a(n-1)an=0,n=2,3,4,…（其中t为常数,且t≠0）.

题目

已知数列{an}满足：a1=2t,t^2-2a(n-1)t+a(n-1)an=0,n=2,3,4,…（其中t为常数,且t≠0）.
（1）求证：数列{1/（an-t)}为等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn=an/(n+1)^2,求数列{bn}的前n项和Sn.

答案

由t^2-2a(n-1)t+a(n-1)an=0
得t^2-a(n-1)t+a(n-1)an-a(n-1)t=0
t（t-a(n-1))+a(n-1)(an-t)=0
a(n-1)(an-t)=t(a(n-1)-t)
a(n-1)/(a(n-1)-t)=t/(an-t)
1/（an-t)-1(a(n-1)-t)=1/t
所以 数列{1/（an-t)}为以1/t为首项以1/t为公比的等差数列
1/(an-t)=n/t
an=t/n+t
bn=t/{n(n-1)}=t{1/n-1/(n+1)}
所以Sn=t{1-1/2+1/2-1/3.+1/n-1/(n+1)}=t{1-1/(n+1)}