求抛物线y=0.5x²上与点A(6,0)距离最近的点.

求抛物线y=0.5x²上与点A(6,0)距离最近的点.

题目
求抛物线y=0.5x²上与点A(6,0)距离最近的点.
答案
令P(x,1/2x^2)为抛物线上的点,显然x∈R
由两点间距离公式有PA^2=(x-6)^2+(1/4)x^4
令PA^2=f(x)=(x-6)^2+(1/4)x^4
易知f'(x)=2(x-6)+x^3
=x^3+2x-12
=(x^3-8)+2(x-2)
=(x-2)(x^2+2x+4)+2(x-2)
=(x-2)(x^2+2x+6)
令f'(x)=0,即(x-2)(x^2+2x+6)=0
因x^2+2x+6>0恒成立(判别式判断)
则x-2=0,即x=2
显然当x<2时f'(x)<0,此时f(x)递减
当x>2时f'(x)>0,此时f(x)递增
表明x=2处f(x)取得最小值
即f(x)min=f(2)=20
即(PA^2)min=20
所以PAmin=2√5
此时P点坐标为(2,2)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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