求抛物线y=0.5x²上与点A(6,0)距离最近的点.

题目

求抛物线y=0.5x²上与点A(6,0)距离最近的点.

答案

令P(x,1/2x^2)为抛物线上的点,显然x∈R
由两点间距离公式有PA^2=(x-6)^2+(1/4)x^4
令PA^2=f(x)=(x-6)^2+(1/4)x^4
易知f'(x)=2(x-6)+x^3
=x^3+2x-12
=(x^3-8)+2(x-2)
=(x-2)(x^2+2x+4)+2(x-2)
=(x-2)(x^2+2x+6)
令f'(x)=0,即(x-2)(x^2+2x+6)=0
因x^2+2x+6>0恒成立（判别式判断）
则x-2=0,即x=2
显然当x<2时f'(x)<0,此时f(x)递减
当x>2时f'(x)>0,此时f(x)递增
表明x=2处f(x)取得最小值
即f(x)min=f(2)=20
即(PA^2)min=20
所以PAmin=2√5
此时P点坐标为(2,2)