圆锥的母线长是它的高的2倍,过顶点最大的截面交底面得一条弦,底面圆心到弦的距离为2cm,求圆锥的体积

题目

圆锥的母线长是它的高的2倍,过顶点最大的截面交底面得一条弦,底面圆心到弦的距离为2cm,求圆锥的体积

答案

圆锥母线就是底面周长.长是2πr,高πr,底面弦到圆心是x,
那么弦长是2√(r^2-x^2),
截出的三角形高√[(πr)^2+x^2],
面积是√{(r^2-x^2)[(πr)^2+x^2]}
面积最大,(r^2-x^2)[(πr)^2+x^2]就应取最大值.
设r=单位1,x=x/r.
就是(1-x^2)(π^2+x^2)=ππ+xx-ππxx-xxxx取最大值.
导数-4x^3-2(ππ-1)x=0.x=0或x=±√-[(π^2-1)/2]=±(2.106i)r是虚数,不存在实数解
就是说这样的弦不存在.最大三角形就是底边是直径的正放的三角形.
圆锥高是h,要存在比过直径的三角形面积还大的三角形,必须有
√(r^2-x^2)*√(h^2+x^2)>hr 就是(h^2+x^2)(r^2-x^2)>h^2*r^2
(r^2-h^2)>x^2>0 r>h
就是只有正截面是钝角三角形的圆锥,才存在以非直径弦为底的最大截面.而本题中,h=3.14r,这样高瘦的圆锥,最大截面只能是过直径的.
题有问题,不信你自己再算一遍.原题改成底面半径是高的2倍,就存在这样的弦了.