求与椭圆x2144+y2169=1有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率.

求与椭圆x2144+y2169=1有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率.

题目
求与椭圆
x2
144
+
y2
169
=1
有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率.
答案
椭圆
x2
144
+
y2
169
=1
的焦点是:(0,-5)(0,5),焦点在y轴上;
于是可设双曲线的方程是
y2
a2
x2
b2
=1
,(a>0,b>0).
又双曲线过点(0,2)
∴c=5,a=2,
∴b2=c2-a2=25-4=21.
∴双曲线的标准方程为:
y2
4
x2
21
=1

所以:双曲线的实轴长为4,焦距为10,离心率e=
c
a
5
2
.渐近线方程是y=±
2
21
21
x
先求出椭圆的焦点,进而设出双曲线方程,再根据条件求出双曲线方程,即可得到结论.

椭圆的简单性质.

本题主要考查双曲线的简单性质.是对双曲线基础知识的综合考查,属于基础题目.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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