求与椭圆x2144+y2169＝1有共同焦点，且过点（0，2）的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率．

题目

求与椭圆

x2

144

+

y2

169

＝1有共同焦点，且过点（0，2）的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率．

答案

椭圆

x2

144

+

y2

169

＝1的焦点是：（0，-5）（0，5），焦点在y轴上；
于是可设双曲线的方程是

y2

a2

−

x2

b2

＝1，（a＞0，b＞0）．
又双曲线过点（0，2）
∴c=5，a=2，
∴b²=c²-a²=25-4=21．
∴双曲线的标准方程为：

y2

4

−

x2

21

＝1．
所以：双曲线的实轴长为4，焦距为10，离心率e＝

c

a

＝

5

2

．渐近线方程是y＝±

2 21

21

x．

先求出椭圆的焦点，进而设出双曲线方程，再根据条件求出双曲线方程，即可得到结论．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题主要考查双曲线的简单性质．是对双曲线基础知识的综合考查，属于基础题目．