初二几何3（急!追加悬赏!~）

题目

初二几何3（急!追加悬赏!~）
如图,在△ABC中,角BAC=90°,AD是BC边上的高,BE是角平分线,且交AD于F.（1）求证：AE=AF；（2）如果∠C=30°,AE=1,求AC的长

答案

1.因为EB是∠ABC的平分线,所以又∠ABC=2∠EBC
因为AD为BC上的高,所以有∠ADB=90度,于是在△FBD中,有∠EBC+∠BFD=90度
又因为∠AFE=∠BFD,所以有∠AFE=90°-∠EBC
在Rt△ABC中,∠BAC=90度,于是有∠ABC+∠C=90度,故∠C+2∠EBC=90度,
∠C+∠EBC=90°-∠EBC
而∠AEF=∠EBC+∠C=90°-∠EBC
所以有∠AFE=∠AFE,于是在等腰三角形AEF中,有AE=AF
2.由于∠C=30度,有∠ABC=90度-30度=60度,∠ABE=∠ABC/2=30度,于是由于在Rt△ABE中,∠BAE=90度,所以有tan∠ABE=AE/AB,AB=AE/tan∠ABE=1/tan30°=√3
在Rt△ABC中,∠BAC=90度,∠C=30度,于是有tan∠C=AB/AC,
AC=AB/tan∠c=√3/tan30°=3