当x→0时，1-cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，求常数a，n．

题目

当x→0时，1-cosxcos2xcos3x与axⁿ是等价无穷小，求常数a，n．

答案

当x→0时余弦函数在x=0的带佩亚诺余项的泰勒展开式：
cosx＝

n+1

k＝1

(−1)k−1x2k−2

(2k−2)!

+o(x2n)
则当x→0时函数在x=0的带佩亚诺余项的二阶泰勒展开式分别为：
cosx＝1−

1

2

x2+o(x2)
cos(2x)＝1−

1

2

(2x)2+o(x2)=1-2x²+o（x²）
cos(3x)＝1−

1

2

(3x)2+o(x2)=1−

9

2

x2+o(x2)
∴1-cosxcos（2x）cos（3x）=1−(1−

1

2

x2+o(x2))（1-2x²+o（x²））(1−

9

2

x2+o(x2))
=7x²+o（x²）
∴

lim

x→0

7x2+o(x2)

axn

＝1
∴a=7，n=2