当X≥0时,证明f(x)=∫(0到x)(t-t^2)(sint)^(2n)dt的最大值不超过1/((2n+2)(2n+3))

题目

当X≥0时,证明f(x)=∫(0到x)(t-t^2)(sint)^(2n)dt的最大值不超过1/((2n+2)(2n+3))

答案

因为f'(x)=(x-x^2)(sinx)^(2n)=x(1-x)(sinx)^(2n),由此知道
f(x)在[0,1]上递增,在[1,正无穷)上递减,f(1)是最大值,因此
只需证明f(1)=∫(0到1)(t-t^2)(sint)^(2n)dt<1/(2n+2)(2n+3)=1/(2n+2)-1/(2n+3).
由于0<=|sint|<=t,因此(t-t^2)(sint)^(2n)<=t^(2n+1)-t^(2n+2),不等式在[0,1]上积分
可得结论成立.