如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米.点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动;点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移

如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米.点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动;点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移

题目
如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米.点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动;点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6),那么

(1)设△POQ的面积为y,求y关于t的函数解析式;
(2)当△POQ的面积最大时,将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ,试判断点C是否落在直线AB上,并说明理由;
(3)当t为何值时,△POQ与△AOB相似.
答案
(1)∵OA=12,OB=6,由题意,得BQ=1×t=t,OP=1×t=t.
∴OQ=6-t.
∴y=
1
2
×OP×OQ=
1
2
×t(6-t)=-
1
2
t2+3t(0≤t≤6);
(2)∵y=-
1
2
t2+3t,
∴当y有最大值时,t=3
∴OQ=3,OP=3,即△POQ是等腰直角三角形.
把△POQ沿直线PQ翻折后,可得四边形OPCQ是正方形.
∴点C的坐标为(3,3).
∵A(12,0),B(0,6),
∴直线AB的解析式为y=-
1
2
x+6
当x=3时,y=
9
2
≠3,
∴点C不落在直线AB上;
(3)
①若△POQ∽△AOB时,
OQ
OB
OP
OA
,即
6−t
6
t
12
,12-2t=t,∴t=4.
②若△POQ∽△BOA时,
OQ
OA
OP
OB
,即
6−t
12
t
6
,6-t=2t,∴t=2.
∵0≤t≤6,
∴t=4和t=2均符合题意,
∴当t=4或t=2时,△POQ与△AOB相似.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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