初三几何题,希望能帮助解答

题目

初三几何题,希望能帮助解答
图不太好画,题是这样：
在等腰直角三角形ABC中,角C=90度,M,N分别为CA,CB上的点,将三角形沿MN对折,点C落在AB边点P上
（1）若P点为BC中点,试证明：
PA：PB=CM；CN
（2）若P点不是BC中点,则是否还存在PA：PB=CM：CN?
谢谢!

答案

"点C落在AB边点P上"--->P在AB上
"若P点为BC中点"----->P在BC上
题目有误
若题目把"若P点为BC中点"改为:"若P点为AB中点"
则解如下:
（1）连CP
因为等腰直角三角形ABC中,P是AB中点,
所以,CP⊥AB
直角三角形APC中,PM=CM,M是斜边AC中点,CM=AC/2
直角三角形BPC中,PN=CN,N是斜边BC中点,CN=BC/2
而AC=BC
所以,CM=CN
PA：PB=CM:CN=1:1
(2)P点是C点折过去的,所以,∠MPN=90度
∠PNC=360-∠MPN-∠MCN-∠PMC=180-∠PMC
若P点不是BC中点,则M也不是AC的中点
在AC上取点D,使PM=PD
则∠PMD=∠PDM
∠PDA=180-∠PDM=180-∠PMD=∠PMC
∠PNB=180-∠PNC=180-(180-∠PMC)=∠PMC
所以,∠PDA=∠PNB
而:∠A=∠B=45
所以,△ADP~△BNP
PA：PB=PD:PN
=PM:PN
=CM:CN
证毕