如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面PAD; (Ⅱ)求证:EF⊥CD; (Ⅲ)若G是线段AD上一动
题目
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(Ⅰ)求证:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)求证:EF⊥CD;
(Ⅲ)若G是线段AD上一动点,试确定G点位置,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.
答案
(Ⅰ)证明:∵E,F分别是AB,PB的中点,∴EF∥AP.
又∵EF⊄平面PAD,AP⊂平面PAD,
∴EF∥平面PAD.(4分)
(Ⅱ)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AD⊥CD.
又∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥CD,且AD∩PD=D.∴CD⊥平面PAD,
又∵PA⊂平面PAD,∴CD⊥PA.又∵EF∥PA,∴EF⊥CD.(8分)
(Ⅲ)G是AD的中点时,GF⊥平面PCB.证明如下:(9分)
取PC中点H,连接DH,HF.
∵PD=DC,∴DH⊥PC.
又∵BC⊥平面PDC,∴BC⊥DH,∴DH⊥平面PCB.∵HF
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举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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