设f(x)在[0,1]上可导,且满足关系式f(1)-3∫(0,1/3)xf(x)dx=0,证明：存在一个§(0,1）,使得

题目

设f(x)在[0,1]上可导,且满足关系式f(1)-3∫(0,1/3)xf(x)dx=0,证明：存在一个§(0,1）,使得
f（§）+§f‘（§）=0

答案

构造函数F(x)=x *f（x） ,则F ’（x）=f（x）+x*f ‘（x）；
由已知F(1) = 3* [∫(0,1/3) F（x）dx],
又由拉格朗日中值定理可以推出： 比存在t,满足∫(0,1/3) F（x）dx =F（t）*(1/3 -0) 其中t属于(0,1/3).
所以存在t属于(0,1/3),F（t）=F（1）.
所以由roll定理：存在§属于(t,1）包含于（0,1）,满足F ‘ (§)=0,即结论成立.