已知函数f(x)＝sin2x+cos2x+1/2cosx． （1）求方程f（x）=0的所有解； （2）若方程f（x）=a在x∈[0，π3]范围内有两个不同的解，求实数a的取值范围．

题目

已知函数f(x)＝

sin2x+cos2x+1

2cosx

．
（1）求方程f（x）=0的所有解；
（2）若方程f（x）=a在x∈[0，

π

3

]范围内有两个不同的解，求实数a的取值范围．

答案

（1）f(x)＝2sinxcosx+2cos2x2cosx＝sinx+cosx(cosx≠0)，…（4分）由题意可得 f(x)＝2sin(x+π4)=0，故 x+π4=kπ，即 x＝kπ−π4(k∈Z)． …（2分）（2）当x∈[0，π3]时，方程a＝sinx+cosx＝2sin(x+π4)有...

（1）方程可化为得f(x)＝

2

sin(x+

π

4

)=0，由此求得 x＝kπ−

π

4

(k∈Z)．
（2）由题意可得函数y=a与y＝

2

sin(x+

π

4

)（x∈[0，

π

3

]）的图象有两个不同的交点，由函数y＝

2

sin(x+

π

4

)的图象性质得实数a的取值范围．

本题考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，直线和正弦函数图象的交点个数的判断，属于中档题．