如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB>1,点E在棱AB上移动,小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1,所爬的最短路程为22. (1)求证:D1E⊥A1D; (2)求AB的长

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB>1,点E在棱AB上移动,小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1,所爬的最短路程为22. (1)求证:D1E⊥A1D; (2)求AB的长

题目
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB>1,点E在棱AB上移动,小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1,所爬的最短路程为2
2


(1)求证:D1E⊥A1D;
(2)求AB的长度;
(3)在线段AB上是否存在点E,使得二面角D1-EC-D的大小为
π
4
.若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
答案
作业帮 (1)证明:连接AD1,由长方体的性质可知:
AE⊥平面AD1,∴AD1是ED1
平面AD1内的射影.又∵AD=AA1=1,
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1(三垂线定理)
作业帮(2)设AB=x,∵四边形ADD1A是正方形,
∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到
点C1可能有两种途径,
如图甲的最短路程为|AC1|=
x2+4

如图乙的最短路程为|AC1=
(x+1)2+1
=
x2+2x+2

作业帮∵x>1
∴x2+2x+2>x2+2+2=x2+4
x2+4
=2
2
∴x=2(9分)
(3)假设存在连接DE,设EB=y,过点D在平面ABCD内作DH⊥EC,连接D1H,则∠D1HD为二面角D1-EC-D的平面角,
∴∠D1HD=
π
4

∴DH=DD1=1在R△EBC内,EC=
y2+1
,而EC•DH=DC•AD,
即存在点E,且离点B为
3
时,二面角D1-EC-D的大小为
π
4
(1)连接AD1,根据长方体的性质可知AE⊥平面AD1,从而AD1是ED1在平面AD1内的射影,根据三垂线定理可得结论;(2)根据四边形ADD1A是正方形,则小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1可能有两种途径,然后比较两个路程的大小从而求出AB的长;
(3)假设存在连接DE,过点D在平面ABCD内作DH⊥EC,连接D1H,根据二面角平面角的定义可知∠D1HD为二面角D1-EC-D的平面角,在直角三角形EBC中求出BE的长即可求出所求.

与二面角有关的立体几何综合题;三垂线定理.

本题主要考查了三垂线定理的应用,以及与二面角有关的立体几何综合题,同时考查了推理能力和计算能力,属于中档题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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