若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,求ab的最小值.

若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,求ab的最小值.

题目
若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,求ab的最小值.
答案
∵A、B、C三点共线,
∴kAB=kAC,即
b−0
0−a
=
−2−0
−2−a
,∴
1
a
+
1
b
=-
1
2

1
2
=|
1
a
+
1
b
|=|
1
a
|+|
1
b
|≥
2
ab
(当a=b时取等号),
ab
≥4
,ab≥16
ab的最小值为:16.
由A、B、C三点共线,可得 kAB=kAC,可得
1
a
+
1
b
=-
1
2
,再利用基本不等式可求ab的最小值.

基本不等式在最值问题中的应用.

本题考查直线的斜率公式、三点共线,基本不等式的应用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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