若矩形的长、宽和对角线的长度都是整数,求证:这个矩形的面积是12的倍数.
题目
若矩形的长、宽和对角线的长度都是整数,求证:这个矩形的面积是12的倍数.
答案
[证法1]设矩形的长、宽和对角线长分别为a,b,c且a,b,c都是整数,则根据勾股定理知
a2+b2=c2,我们只需证明a,b,c中必有一个能被3整除,也必有一个能被4整除.
(1)先证“a,b中必有一个能被3整除”.
若a,b都不是3的倍数,则a2与b2必被3除余1,则c2必被3除余2,
但完全平方数被3除只能余0或1,故矛盾,
所以a,b中必有3的倍数,即ab为3的倍数;
(2)再证“a,b中必有一个能被4整除”.
将a2+b2=c2中的a,b,c的公约数约去,得x2+y2=z2,其中x,y,z两两互质,
只需证明“x,y中必有一个能被4整除”即可.
首先x,y不能全是奇数,因为若x,y均为奇数,则x2与y2必都被4除余1,于是z2必被4除余2,但完全平方数被4除只能余0或1,故矛盾,
所以x,y不能全是奇数.
因为x,y互质,所以,x,y也不能全是偶数,
因此x,y只能是一奇一偶,不妨设x=2p+1,y=2m(其中p,m均为整数),
此时z是奇数,设z=2q+1(q为整数),代入y2=z2-x2中,得
4m2=(2q+1)2-(2p+1)2=4(q2+q-p2-p),即m2=q(q+1)-p(p+1),
因为q(q+1)与p(p+1)都是两个连续整数的乘积,
所以q(q+1)与p(p+1)都能被2整除,于是m2为偶数,
因此m为偶数,设m=2n(n为整数),则y=2n=2´2m=4m,于是y能被4整除.
综上,a,b中必有一个能被3整除,也必有一个能被4整除.又因为(3,4)=1,所以
a´b能被12整除,即这个矩形的面积必为12的倍数.
[证法2]设a,b都不是4的倍数,则a,b均为奇数;或a,b中的一个为奇数,另一个为被4
除余2的数;或a,b都是被4除余2的数.
(1)若a,b均为奇数,则a2与b2必被4除余1,则c2必被4除余2,但完全平方数被
4除只能余0或1,矛盾.
(2)若a,b中一个是奇数,另一个是被4除余2的数;不妨设a=2k+1,b=2(2m+1)(其
中k,m均为整数),则a2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1.因为连续整数之积k(k+1)能被2
整除,所以a2被8除余1,而b2=22(2m+1)2=16m(m+1)+4,于是b2被32除余4,所
以a2+b2被8除余5,即c2被8除也余5,但完全平方数被8除只能余0或1或4,
矛盾.
(3)若a,b都是被4除余2的数.设a=2(2k+1),b=2(2m+1)(其中k,m均为整数),
则由a2+b2=c2知c2为偶数,于是c为偶数,设c=2n,则a2+b2=(2n)2=4n2,即
22(2k+1)2+22(2m+1)2=4n2,约去公因子4,得(2k+1)2+(2m+1)2=4n2,变成两个奇数平
方和的情形,根据(1)得出矛盾.
综上,假设“a,b都不是4的倍数”不成立,所以“a,b中必有一个能被4整除”成立.
因为(3,4)=1,所以a´b能被12整除,即这个矩形的面积必为12的倍数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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