已知函数f(x)=2-(1/2)x，x≤02x2+1，x＞0，g(x)=kx，若函数h（x）=f（x）-g（x）有3个不同的零点，则实数k的取值范围是 _ ．

题目

已知函数f(x)=

2-( 1 2 )x，x≤0 2x2+1，x＞0

，g(x)=kx，若函数h（x）=f（x）-g（x）有3个不同的零点，则实数k的取值范围是 ___ ．

答案

由题意可得函数f（x）的图象和函数g（x）的图象有3个不同的交点，
当直线g（x）=kx和y=2x²+1（x＞0）相切时，设切点A（x₀，2x02+1），
则切线的斜率k=

2x02+1-0

x0-0

=f′（x₀）=4x₀，解得 x₀=

2

2

．
此时，k=2

2

，数形结合合可得函数f（x）的图象和函数g（x）的图象有3个不同的零点，
则实数k的取值范围是（2

2

，+∞），
故答案为：（2

2

，+∞）．

由题意可得函数f（x）的图象和函数g（x）的图象有3个不同的交点，当直线g（x）=kx和y=2x²+1（x＞0）相切时，由斜率公式、导数的几何意义求得切点A的坐标，求得切线斜率的值，数形结合合可得则实数k的取值范围．

本题考点：函数的零点与方程根的关系；分段函数的解析式求法及其图象的作法．

考点点评：本题主要考查函数零点个数的判断方法，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．