设A是三阶可逆矩阵，A-1的特征值为1，2，3，求|A|的代数余子式之和：A11+A22+A33=_．

题目

设A是三阶可逆矩阵，A^-1的特征值为1，2，3，求|A|的代数余子式之和：A₁₁+A₂₂+A₃₃=___．

答案

因为A₁₁，A₂₂，A₃₃为A的伴随矩阵A^*的主对角线上的元素，
则A₁₁+A₂₂+A₃₃等于A^*的三个特征值之和．
又A是三阶可逆矩阵，
所以A^-1=

1

. A .

A*，
因为A^-1的特征值为1，2，3
所以A^*的三个特征值分别：

1

6

，

1

3

，

1

2

，
所以A11+A22+A33=

1

6

+

1

3

+

1

2

=1．
故答案为：1．

已知的是A^-1的特征值，又A^-1=

1

. A .

A*，要求的又恰好是伴随矩阵主对角线上的元素，所以求出三个特征值即可．

本题考点：A:n阶行列式和n阶行列式的余子式 B:可逆矩阵的性质

考点点评：本题主要考查可逆矩阵的性质，本题属于基础题．