设集合A=｛x丨2x的平方+3px+2=0},B={x丨2x的平方+x+q=0},其中p,q,x属于R,当A并B=｛1/2}时,求p的值和A交B

题目

设集合A=｛x丨2x的平方+3px+2=0},B={x丨2x的平方+x+q=0},其中p,q,x属于R,当A并B=｛1/2}时,求p的值和A交B

答案

A∪B＝{1/2}
说明可能是以下三种情况之一：
A＝{1/2},B＝{}
A＝{},B＝{1/2}
A＝B＝{1/2}
在和的情况,A∩B＝{},而的情况,A∩B＝{1/2}.
令：
2x²＋3px＋2＝0为方程①,
2x²＋x＋q＝0为方程②,
方程①的判别式为M＝（3p）²－4×2×2＝9p²－16,
方程②的判别式为N＝1²－4×2×q＝1－8q.
下面分情况讨论：
如果是情况,则①有一个实数根1/2,②无实数根,
所以M＝0,N＜0,解得p＝±4/3,q＞1/8,
将x＝1/2代入①中,得到p＝－5/3.
这样p不存在.
如果是情况,则①没有实数根,②有一个实数根1/2,
所以M＜0,N＝0,解得－4/3＜p＜4/3,q＝1/8.
此时p的值不能确定.
如果是情况,则①和②都仅有一个实数根1/2,
所以M＝N＝0,解得p＝±4/3,q＝1/8,
同可以知道p不存在.
综上所述,－4/3＜p＜4/3,A∩B＝{},
注：{}表示空集.