双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1满足下列条件

题目

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1满足下列条件
（1）ab=根号3；（2）过右焦点F的直线l的斜率为根号21除以2,交y轴于点P,线段PF交双曲线于点Q,且|PQ|：|QF|=2：1,求双曲线方程.

答案

右焦点F的坐标为(c,0),
则斜率为(√21)/2且过右焦点F的直线l的方程为
y=(√21)*x/2-(√21)*c/2 －－－－－①
由|PQ|：|QF|=2：1得
|PQ|：|PF|=2：3
∴Q点的横坐标Xq=2*c/3
代入①得Q点的纵坐标为
Yq==(√21)*(2*c/3)/2-(√21)*c/2＝－(√21)*c/6
而Xq,Yq满足x^2/a^2-y^2/b^2=1,即
(2*c/3)^2/a^2-[-(√21)*c/6]^2/b^2=1
化简得
16*c^2/a^2-21*c^2/b^2=36
再把c^2=a^2+b^2代入上式进一步化简得
16*b^2/a^2-21*a^2/b^2-41=0 －－－－－②
令b^2/a^2＝t －－－－－－③
则②式为16t-21/t-41=0
解此方程得t=3 【另一t值为-7/16,和③矛盾,故舍弃】
即b^2=3*(a^2) －－－－－④
由ab=(√3)得
a^2*b^2=3 －－－－－－⑤
⑤式除以④式,得
a^2=1/(a^2)
故a^2=1
代入④式得
b^2=3
故所求双曲线方程为
x^2-y^2/3=1