已知函数g(x)=1/(sinΦ*x)+lnx在[1,+∞)上为增函数,且Φ∈(0,派) f(x)=mx-(m-1)/x-lnx,m∈R

题目

已知函数g(x)=1/(sinΦ*x)+lnx在[1,+∞)上为增函数,且Φ∈(0,派) f(x)=mx-(m-1)/x-lnx,m∈R
(2)若 f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求M取值范围 这个问题中,(f(x)-g(x))'怎么求?m/x的导数不是-1/x 怎么是m/x^呢?

答案

由于(1/x)'=-1/x²,所以m/x的导数是-m/x².这是基本公式.
（1）g'(x)=-1/(sinΦ•x²)+1/x=(1/x)[1-1/(sinΦ•x)]
由于 g(x)在[1,+∞)上为增函数,所以当x≥1时,有g'(x)≥0,
即1-1/(sinΦ•x)≥0
由于Φ∈(0,π),sinΦ>0
故sinΦ≥1/x
从而 sinΦ≥(1/x)max,x∈[1,+∞)
即 sinΦ≥1,所以 sinΦ=1,Φ=π/2
（2）g(x)=1/x+lnx,f(x)-g(x)=mx -m/x+1/x -lnx -1/x -lnx=mx -m/x-2lnx
[f(x)-g(x)]'=m+m/x² -2/x
由于f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,可分两种情况.
①f(x)-g(x)在[1,+∞)上为增函数,则
m+m/x² -2/x≥0
m≥2x/(x²+1)
令 h(x)=2x/(x²+1)
从而m≥[h(x)]max,x∈[1,+∞)
而h(x)在[1,+∞)上为减函数
所以 m≥h(1)=1
②f(x)-g(x)在[1,+∞)上为减函数
m+m/x² -2/x≤0
m≤2x/(x²+1)
而h(x)=2x/(x²+1)在[1,+∞)上为减函数
所以 m≤0
m的取值范围是m≤0或m≥1