求证：7|(2222^5555+5555^2222)

题目

求证：7|(2222^5555+5555^2222)

答案

证明：
∵2222^5555+5555^2222=(22225)^1111+(55552)^1111
∵2222=7×317+3 ,
5555=7×793+4.
∴2222≡3 ( mod 7)；
5555≡4 (mod 7).
∴2222^5≡3^5≡5(mod 7)；
5555^2≡4^2≡2 (mod 7).
∴2222^5+5555^2≡5+2≡0 ( mod 7).
即2222^5≡－5555^2 (mod 7).
∴(2222^5)^1111≡(－5555^2)^1111≡－(5555^2)^1111 (mod 7).
∴2222^5555+5555^2222≡0 (mod 7).
∴7|(2222^5555+5555^2222)