矩阵,相似,极小多项式

题目

矩阵,相似,极小多项式
具有相同极小多项式的两个实对称矩阵是否相似?若是,请证明；否则,请举出反例
矩阵的阶数相同

答案

由于是对称矩阵可对角化,因此问题转化为：两个实对角阵A,B的极小多项式相同,那么二者是否相似（事实上如果相似,那么二者是相同的,即是否有A=B）?
这个结论显然不真,例如取
A=diag{1,1,2},B=diag{1,2,2}那么A,B的极小多项式均为
(x-1)(x-2)
但是显然A,B不相似,更不相等