已知a,b,x,y为正实数,且1/a>1/b,x>y,求证:x/x+a>y/y+b.

已知a,b,x,y为正实数,且1/a>1/b,x>y,求证:x/x+a>y/y+b.

题目
已知a,b,x,y为正实数,且
1
a
1
b
,x>y,求证:
x
x+a
答案
证明:由于a,b,为正实数,且
1
a
1
b

故b>a>0,
又x>y>0,∴bx>ay即bx-ay>0,…(4分)
x
x+a
-
y
y+b
=
bx−ay
(x+a)(y+b)
>0.
x
x+a
y
y+b
.…(12分)
利用作差法,结合a,b,x,y为正实数,且
1
a
1
b
,x>y,即可证明.

不等式的证明.

正确运用作差法是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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