求过一点(1,-1)的曲线,使其上任意一点处的切线夹于两坐标轴向的线段被切点平分
题目
求过一点(1,-1)的曲线,使其上任意一点处的切线夹于两坐标轴向的线段被切点平分
答案
设该曲线的切点为(x,y),那么根据中点坐标公式,很容易求得切线与x轴,y轴的交点分别是(2x,0),
(0,2y),所以切线斜率为k=-y/x,由于曲线切线斜率k=dy/dx,所以可以得到微分方程为
dy/dx=-y/x,用微分法求解这个方程:
整理得xdy+ydx=0,即d(xy)=0,积分,得xy=C(C为任意常数),由于曲线过(1,-1),把此点代入,可求出C=-1,所以这个曲线的方程为xy=-1,即y=-1/x
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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