如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在CB上取一点D，分别作直线CD，ED，交直线AB于点F、M． （1）求∠COA和∠FDM的度数； （2）求证：△FDM∽△COM； （3）

题目

如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在

CB

上取一点D，分别作直线CD，ED，交直线AB于点F、M．
（1）求∠COA和∠FDM的度数；
（2）求证：△FDM∽△COM；
（3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在

EB

上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、答案

（1） ∵AB为直径，CE⊥AB∴AC=AE，CG=EG在Rt△COG中，∵OC=OA，OG=12OA，∵OG=12OC，∴∠OCG=30°，∴∠COA=60°，又∵∠CDE的度数=12CAE的度数=AC的度数=∠COA的度数=60°∴∠FDM=180°-∠CDE=120°．（2）证明：...

（1）由于CG⊥OA，根据垂径定理可得出，弧CA=弧AE，那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠FDM=180°-∠CDE=120°
（2）在（1）中我们根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线，那么△CMG和△EMG全等，可得出∠CMA=∠EMG，也就可得出∠CMO=∠FMD，在（1）中已经证得∠AOC=∠EDC=60°，那么∠COM=∠MDF，因此两三角形就相似．
（3）可按（2）的方法得出∠DMF=∠CMO，关键是再找出一组对应角相等，还是用垂径定理来求，根据垂径定理我们可得出弧AC=弧AE，那么∠AOC=∠EDC，根据等角的余角相等即可得出∠COM=∠FDM，由此可证出两三角形相似．

本题考点：圆周角定理；直角三角形全等的判定；垂径定理；相似三角形的判定．

考点点评：本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形和相似三角形的判定及性质等知识点，根据垂径定理得出角相等是解题的关键．