设A,B,C三个事件两两独立,则A,B,C相互独立的充分必要条件是( ) A.A与BC独立 B.AB与A∪C独立 C.AB与AC独立 D.A∪B与A∪C独立
题目
设A,B,C三个事件两两独立,则A,B,C相互独立的充分必要条件是( )
A. A与BC独立
B. AB与A∪C独立
C. AB与AC独立
D. A∪B与A∪C独立
答案
A、B、C事件相互独立等价于:
P(ABC)=p(A)P(BC)=p(B)P(AC)=P(C)P(AB)=P(A)P(B)P(C); (1)
A、B、C事件两两独立等价于:
P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C); (2)
必要性:证明A、B、C事件相互独立可以推出两两独立,即证明(1)⇒(2).
因为:A、B、C事件相互独立:
所以有:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C);
故必要性成立.
充分性:证明A、B、C事件两两独立可以推出两两独立,即证明(2)⇒(1).
因为:A、B、C事件两两独立:
所以:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C);
而:A、B、C三事件相互独立需要满足:P(ABC)=p(A)P(BC)=p(B)P(AC)=P(C)P(AB)=P(A)P(B)P(C);
因此需要增加一条件使得P(ABC)=P(A)P(B)P(C);
A选项:A与BC独立:即P(A(BC))=P(A)P(BC),
又由于P(BC)=P(B)P(C),
所以:P(A(BC))=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C);
故当A与BC独立时,充分性成立.
其它三个选项都无法推出P(ABC)=P(A)P(B)P(C);
故选:A.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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