如何判断一个正整数是否为3的倍数,为什么?请证明

题目

如何判断一个正整数是否为3的倍数,为什么?请证明

答案

设这个数表示成x = 10^n * an + 10^(n-1) * a(n-1) + ...+ a1 (一共有n位)
那么只要证明x 与a1+a2+a3+...+an对于3同余即可
显然10^n * an - an = an * 99999.9999 能被3整除
所以10^n * an = an (mod 3)
同理 10^(n-1) * a(n-1) = a(n-1) (mod 3)
所以x = 10^n * an + 10^(n-1) * a(n-1) + ...+ a1 = an + a(n-1) + ...+ a1 (mod 3)
也就是x除以3的余数与x的各位数字和除以3的余数相同
所以如果各位数字和能被3整除,那么这个数就能被3整除.