设m=(cosA,sinA)n=(cosA,-sinA),a=2根号3,且m点乘n=-0.5

题目

设m=(cosA,sinA)n=(cosA,-sinA),a=2根号3,且m点乘n=-0.5
锐角三角形三个角分别是A,B,C,对应三边a,b,c.求b+c的最大值

答案

由已知有m*n=（cosA）的方-（sinA）的方=-1/2,即：2（cosA）的方=1/2,解之得：cosA=1/2,cosA=-1/2（舍去）,故A=60度,sinA=（根号下3）/2,由（a/sinA）=2R得：R=（1/2）*2*（根号下3）/[（根号下3）/2]=2,由b/sinB=2R,c/sinC=2R得：b+c=2R*（sinB+sinC）=4（sinB+sinC）=4*2sin[（B+C）/2]*cos[（B-C）/2]=8*sin[（120度）/2]*cos[（B-C）/2]=4（根号下3）*cos[（B-C）/2],因为ΔABC是锐角三角形,所以cos[（B-C）/2]≤1,所以b+c=4（根号下3）*cos[（B-C）/2]≤4（根号下3）,即b+c的最大值为4（根号下3）.