映射证明题

题目

映射证明题
设映射f:X--Y,A包含于X,B包含于X,证明：
(1)f(AUB)=f(A)Uf(B)
(2)f(AnB)=f(A)nf(B)

答案

1）
y∈f(AUB)
当且仅当：x∈AUB
当且仅当：x∈A 或 x∈B
当且仅当：y=f(x)∈f(A) 或 y=f(x)∈f(B)
当且仅当：y∈f(A)Uf(B)
所以：f(AUB)=f(A)Uf(B)
2) 此命题错误.【等于】应该为【包含于】.
y∈f(AnB)
则：存在 x∈AnB 即：x∈A 且 x∈B
有：y=f（x)
故：y=f(x)∈f(A)且 y=f(x)∈f(B)
从而y∈f(A)nf(B)
f(A)nf(B) 包含 f(AnB)
注意：f(A)nf(B) 不包含于 f(AnB) ；
例：A={-1,0} B={0,1}
f=|x|
此命题2）等号是当映射为逆映射f^(-1)时成立.