如图a 直线l经过圆o的圆心o,且与圆o交于A,B两点,点c在圆o上

题目

如图a 直线l经过圆o的圆心o,且与圆o交于A,B两点,点c在圆o上
且点C在圆o上,且∠AOC=30°,点p是直线l上的一个动点（与圆心O不重合）,直线CP与圆o相交于点Q.
（1）当点p在半径OA上时,若QP=QO,求∠OCP的度数.
（2）当点P在直线l上的其他位置时,是否还存在∠OCP使得QP=QO?若存在,请求出∠OPC的度数.若不存在,请说明理由.

答案

(1)
连接AC,AQ,
QP=QO,∠QPO=∠QOP=a；
∠ACQ=(1/2)∠QOP=a/2,[同弧上的圆周角=圆心角的一半]；
∠QPO=∠OCP+∠AOC
a=∠OCP+30°；
OC=OA
∠OCA=∠OAC
2∠OCA+∠AOC=180°
2（∠OCP+∠ACQ）+30°=180°
2（∠OCP+a/2)+30°=180°
2∠OCP+a=150°
2∠OCP+∠OCP+30°=150°
3∠OCP=120°
∠OCP=40°；
(2)
当点P在直线l上（B点外侧）圆以外时,
若QP=QO,
∠P=∠QOP=b,
连接CB,
OC=OB
∠OCB=∠OBC=(1/2)∠AOC;
∠OCB=∠OBC=∠BCP+∠P=∠BCP+b
∠BCP=(1/2)∠QOP=b/2,[同弧上的圆周角=圆心角的一半]；
∠OCB=∠OBC=b/2+b=(3/2)b
(1/2)∠AOC=(3/2)b
(1/2)*30°=(3/2)b
b=10°；
∠OCP=∠OCB+∠BCP=(1/2)∠AOC+b/2=(1/2)*30°+(10°)/2=20°;