求一道高一几何应用题

题目

求一道高一几何应用题
有一块边长为4的正方形钢板,现对其切割,焊接成一个长方体形无盖容器.有人应用数学知识作如下设计:在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剩余部分围成一个长方体,该长方体的高是小正方形的边长.
⑴请你求出这种切割,焊接而成的长方体容器的最大容积V1
⑵请你判断上述方案是否最佳方案,若不是,请设计一种新方案,使材料浪费最少,且所得长方体容器的体积V2>V1

答案

（1）该长方体的底边必为一个正方形且正方形的边长=4-2×高设底边边长为x则高=(4-x)/2容积V=x^2*(4-x)/2=(4x^2-x^3)/2求导,V'=(8x-3x^2)/2V'=0时,x=8/3（x=0不合题意,舍去）即x=8/3时,V有最大值V1=(8/3)^2*(4-8/3)/2...