已知二次函数f（x）的二次项系数a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）． （1）若方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式； （2）若函数f（x）的最小值不大于-3

题目

已知二次函数f（x）的二次项系数a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
（1）若方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的最小值不大于-3a，且函数G(x)＝f(x)−

1

3

x3−ax2−

3

2

x在R上为减函数，求实数a的取值范围．

答案

（1）设二次函数为f（x）=ax²+bx+c
∵f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
∴-1，2是方程ax²+（b-2）x+c=0的两个根
∴

1 ＝ 2−b a −2＝ c a

①
∵方程f（x）+3a=0有两个相等的实根即
ax²+bx+c+3a=0有两个相等的实根
∴△=b²-4a（c+3a）=0②
解①②得a＝

2

3

，b＝

4

3

，c＝−

4

3

∴f(x)＝

2

3

x2+

4

3

x−

4

3

（2）根据题意得f(x)＝ax2+(2−a)x−2a＝a(x+

2−a

2a

)2+

−8a2−(2−a)2

4a

∵a＞0，所以f（x）的最小值为

−8a2−(2−a)2

4a

则

−8a2−(2−a)2

4a

≤−3a
得−2≤a≤

2

3

由G(x)＝f(x)−

1

3

x3−ax2−

3

2

x在R上是减函数，
G′(x)＝−x2 +

1

2

−a ≤0在R上恒成立
∴

1

2

−a≤0
得到a≥

1

2

，
综上所述

1

2

≤a≤

2

3

（1）据二次不等式的解集与相应的二次方程的根的关系，判断出-1，2是方程的根，利用韦达定理列出a，b，c满足的等式；再利用二次方程有两个相等的实根，判别式等于0列出关于a，b，c的另一个等式，解方程组求出f（x）的解析式．
（2）通过对二次函数配方求出其最小值，列出不等式求出a的范围；求出G（x）的导函数，令其大于等于0恒成立，求出a的范围．

本题考点：函数的单调性与导数的关系；二次函数的性质．

考点点评：解决二次不等式的解集问题常转化为二次方程的根问题，利用韦达定理得到系数间的关系；解决函数在某个区间上的单调性已知，求参数的范围问题，常求出函数的导函数，令导函数大于等于0（或小于等于0）恒成立．