Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交斜边于点E,点F为BC的中点,求证:EF为圆O的切线.

题目

Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交斜边于点E,点F为BC的中点,求证:EF为圆O的切线.

答案

证明：
连接BE,则
∠BEA=∠BEC=90°
∵F是BC中点
∴在Rt△BEC中,有
EF=(1/2)BC=BF
连接AF,OE,则
OB=OE,OF=OF,BF=EF
∴△OBF≌△OEF（SSS）
∴∠FEO=∠FBO=90°
即OE⊥EF,且FE和圆交点是E,则
因为过圆上一点且和过此点的半径垂直的直线是切线
∴E是切点,EF是切线
得证
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