两道矩阵证明题详细答案

题目

两道矩阵证明题详细答案
1.设A是n阶非零实矩阵（n大于2）,并且A*=AT,证明A是正定矩阵
2.设A是n阶正交矩阵,B为n阶半正定矩阵,证明A+B为正定矩阵

答案

1:
A*=AT
A*A=AAT=|A|=|A||AT|
|A|=1
设A的特征值为x
则A*的特征值为|A|/x=1/x
而AT的特征值为x
x=1/x
所以x=+/-1
...
好像证明不了是正定
例如
-1 0
0 -1
满足A*=AT
2:
对于任意X
XAXT>0
XBXT>=0
所以X(A+B)XT>0
所以A+B正定