求微分过程中,方程两边都有dx,这个dx可以约去吗?

题目

求微分过程中,方程两边都有dx,这个dx可以约去吗?
如方程：(xy)^2=cos(xy),求dy?
两边同时取微分：2(xy)d(xy)=-sin(xy)d(xy);
约去d(xy)：2xy=-sin(xy);
两边同时取微分：2d(xy)=-cos(xy)d(xy);
约去d(xy)：2=-cos(xy);
两边同时取微分：0=sin(xy)d(xy);
则,d(xy)=xdy+ydx=0 故,dy=-ydx/x.
我知道是不能约去微分量的,这会导致其他错误结果,但是按照乘法规则应该可以约的?
真困惑!
为什么不能两边约去dx？(为什么不符合乘法规则？)

答案

事实上,是可以约去的.
关键是你这里是个特殊情况.
设xy=a 我们有 (a)^2=cos(a) 你这里已经是个方程了,不是函数.
而微分一定的是对函数来说的
f(x)dx=g(x)dx 我们是一定有 f(x)=g(x)的