设△ABC是半径为R的圆的内接三角形,且AB=AC,AD⊥BC于D,求AD+BC的最大值

题目

设△ABC是半径为R的圆的内接三角形,且AB=AC,AD⊥BC于D,求AD+BC的最大值
如题.

答案

设BC=2x,AD=AO+OD=R+√（R^2-x^2),
设y=AD+BC=R+√（R^2-x^2)+2x,
要求最大值,需对x求导数,找出驻点,
y'=2-x(R^2-x^2)^(-1/2),
令y'=0,
x=2√5R/5,
因在x0=2√5R/5处左右邻近点一阶导数符号不同,由正到负,故有极大值,
y(max)=(√5+1)R.
即AD+BC的最大值为(√5+1)R.