求大侠帮帮忙一道简单的幂级数的和函数题!

题目

求大侠帮帮忙一道简单的幂级数的和函数题!
帮帮忙一道简单的幂级数的和函数题!(刚学不太懂,)
∑（n=1->∞) [x^n]/[n*3^(n-1)]
ln3-3ln|3-x|,x(-[-3,3).

答案

解的过程如下：
∑[x^n]/[n*3^(n-1)],(n=1→∞)
=3∑[(x/3)^n/n],(n=1→∞)
当|x|＞3时,级数发散；
当x=3时,级数发散；
当x=-3时,3∑[(x/3)^n/n]=-3ln2；
当|x|＜3时,
令f(x)=3∑[(x/3)^n/n],(n=1→∞)
则f'(x)=∑(x/3)^(n-1),(n=1→∞)
f(x)=∫f'(x)dx,{0→x}
而f'(x)=∑(x/3)^(n-1),(n=1→∞)
=[1-(x/3)^n]/[1-(x/3)],(n=1→∞)
=3/(3-x)
所以
f(x)=3∫dx/(3-x),{0→x}
=-3∫d(3-x)/(3-x),{0→x}
=-3ln(3-x),{0→x}
=-3[ln(3-x)-ln(3-0)]
=3ln3-3ln(3-x)
考虑到x=-3时,3∑[(x/3)^n/n]=-3ln2满足上式,
所以
∑[x^n]/[n*3^(n-1)],(n=1→∞)
=3ln3-3ln(3-x),x∈[-3,3)