正实数 X Y 满足 X+Y=XY 求 XY的范围.

题目

正实数 X Y 满足 X+Y=XY 求 XY的范围.
如果用基本不等式 即得到 XY≤2根号XY 求得XY小于等于4
但是 这只是保证了 XY 也是小于 2根号 XY的 （满足 X+Y=XY则 必须满足 XY≤2根号XY） 但是满足了 XY≤2根号XY X+y一定能取到等于XY么 充分 和必要条件 怎么证明 XY取到≤2根号 XY 则 X+Y=XY必定有解

答案

函数求解法：求出一个x=y/(y-1),则xy=y^/(y-1)
令其为一函数
求导可求出极值点y=2时存在极值4,又y=2时,二阶导数为>0,故为极小值
但无极大值
故xy∈[4,+∞）