已知f′（ex）=xe-x，且f（1）=0，则f（x）=_．

题目

已知f′（e^x）=xe^-x，且f（1）=0，则f（x）=______．

答案

令e^x=t，则x=lnt，
于是有f′(t)＝

lnt

t

，即   f′(x)＝

lnx

x

．
对等式两边积分得：
  f(x)＝∫

lnx

x

dx＝

1

2

(lnx)2+C．
根据初始条件f（1）=0，得C=0，
故所求函数为f（x）=

1

2

(lnx)2．

先利用换元法求出f'（x）的表达式，再积分即可．

本题考点：不定积分的运算法则．

考点点评：本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分．